Шестоаголник

Признаци за деливост

Признаците за деливост се скратена постапка и корисен начин за проверување дали некој број се дели со друг пришто резултатот би бил цел број, без да го извршиме делењето. Тие би ни користеле при кратење дропки и размери, пронаоѓање прости и композитни броеви, разложување на прости множители итн. Во постов, покрај основните признаци за деливост, ќе опфатиме и некои поретки и, за оние кои сакаат да знаат повеќе, ќе видиме како некои од нив работат.

Признак за деливост со 1:

Ако бројот е цел број, односно нема децимален дел, бројот се дели со 1.

Признак за деливост со 2:

Ако бројот а парен, односно последната цифра од бројот е 0, 2, 4, 6 или 8, бројот се дели со 2.

Признак за деливост со 5:

Ако последната цифра од бројот е 0 или 5, бројот се дели со 5.

Признак за деливост со 3:

Ако збирот на сите цифри во бројот се дели со 3, тогаш самиот број се дели со 3. Ова правило може да го повторуваме сé додека не добиеме број за кој сме сигурни дека се дели со 3. На пример збирот на цифрите на бројот 3183543138 е 39 (3 + 1 + 8 + 3 + 5 + 4 + 3 + 1 + 3 + 8 = 39). Доколку не сме сигурни дали 39 се дели со 3 можеме да ја повториме постапката: 3 + 9 = 12. 12 се дели со 3, следува дека бројот 3183543138 се дели со 3.

За да видиме како ова правило работи ќе замислиме некој троцифрен број xyz, каде x ни се стотките, y ни се десетките и z ни се единиците на бројот (xyz = 100x + 10y + z). На пример бројот 247 може да се претстави како 2 · 100 + 4 · 10 + 7. Следно, бројот xyz, односно бројот 100x + 10y + z, можеме да го претставиме како (99х + х) + (9y + y) + z. Ги прегрупираме собироците за да го добиеме следниот облик: (x + y + z) + (99x + 9y). Ако од црвениот дел од изразот извадиме 3 пред заграда ќе добиеме 3(33х + 3у) , па согледуваме дека за било која вредност на х и у, црвениот дел од изразот ќе биде секогаш делив со 3. Сé што останува да провериме за да видиме дали целиот израз (x + y + z) + (99x + 9y) е делив со 3, е да го провериме синиот дел, односно (х + у + z), од каде што произлегува самото правило.

Признак за деливост со 9:

Слично како со 3, ако збирот на сите цифри во бројот се дели со 9, тогаш самиот број се дели со 9. Ова правило работи на истиот принцип како правилото за деливост со 3, само што сега наместо од црвениот дел од изразот (x + y + z) + (99x + 9y) да извадиме пред заграда 3, ќе извадиме 9 и добиваме 9(11x + y) , што секогаш е деливо со 9.

Признак за деливост со 4:

Ако последните 2 цифри од бројот формираат број кој се дели со 4, тогаш самиот број се дели со 4. На пример бројот 362896 се дели со 4 бидејќи последните 2 цифри од бројот е бројот 96, кој е делив со 4.

Ова правило работи поради фактот дека бројот 4 е делител на 100, па ако бројот 362896 го претставиме како 362800 + 96, согледуваме дека синиот дел е секогаш делив со 4, па сé што ни останува е да провериме е дали и црвениот дел е делив со 4.

Признак за деливост со 8:

Слично како со 4, ако последните 3 цифри од бројот формираат број кој се дели со 8, тогаш самиот број се дели со 8. Разликата е во тоа што овој пат ги гледаме последните 3 цифри, наместо последните 2, бидејќи 8 не е делител на 100, но е на 1000. Па, на пример, ако бројот 147864 го претставиме како 147000 + 864, треба да го провериме само црвениот дел, бидејќи синиот е секогаш делив со 8. 864 : 8 = 108, па целиот број 147864 се дели со 8.

Признак за деливост со 6:

Ако бројот се дели и со 2 и со 3, тогаш се дели и со 6.

Признак за деливост со 7:

За да провериме дали некој број е делив со 7, го правиме следново: последната цифра од бројот ја множиме со 5 и резултатот го собираме со останатиот дел од оригиналниот број (без последната цифра). На пример, сакаме да го провериме бројот 362887. Последната цифра (7) ја множиме со 5 и потоа на тој резултат додаваме 36288 и добиваме 7 · 5 + 36288 = 35 + 36288 = 36323. Доколку не сме сигурни дали новодобиениот број се дели со 7, ја повторуваме постапката: 3 · 5 + 3632 = 15 + 3632 = 3647. Постапката ја повторуваме сé додека не сме сигурни дека бројот што ќе го добиеме е делив со 7: 7 · 5 + 364 = 35 + 364 = 399. Повторуваме пак: 9 · 5 + 39 = 45 + 39 = 84. И пак: 4 · 5 + 8 = 20 + 8 = 28. 28 се дели со 7, па оригиналниот број 362887 се дели со 7.

За да видиме како ова правило работи ќе замислиме некој троцифрен број xyz. Од правилото погоре, бројот xyz ќе го претставиме како 5z + xy (каде xу не е х · у, туку двоцифрен број кој има х десетки и у единици). За да го добиеме тој двоцифрен број ху од оригиналниот број хуz, треба некако да го тргнеме z. Тоа го правиме така што од бројот хуz одземаме z, за единиците да ни станат 0. Откако последната цифра е веќе 0, делиме со 10 за да ја тргнеме комплетно. Тоа ќе го претставиме вака: ху = (хуz – z) : 10 = (хуz – z) · ⅒ = ⅒(xyz – z). Следно, од правилото горе, на овој израз само додаваме 5z и добиваме: ⅒(xyz – z) + 5z. Го упростуваме изразот: ⅒(xyz – z) + 5z = ⅒xyz – ⅒z + 5z = ⅒xyz + 4,9z. Следно, целиот израз го множиме со 10 (множењето со 10 не ги менува делителите, сé што правиме тука е кажуваме дека имаме 10 групи од истото нешто) и добиваме: (⅒xyz + 4,9z) · 10 = xyz + 49z. Ако овој израз е делив со 7, а црвениот дел е секогаш делив со 7, следува дека и синиот дел (кој всушност е и оригиналниот број xyz) мора да е делив со 7.

Признак за деливост со 10:

Ако последната цифра од бројот е 0, бројот се дели со 10.

Признак за деливост со 11:

За да провериме дали некој број се дели со 11, помеѓу сите негови цифри ставаме – и + наизменично, почнувајќи со –. Ако резултатот на тој израз се дели со 11, самиот број се дели со 11. На пример, дали бројот 32813 се дели со 11? 3 – 2 + 8 – 1 + 3 = 11, па следува дека 32813 се дели со 11.

Признак за деливост со 12:

Ако бројот се дели и со 3 и со 4, тогаш се дели и со 12. Исто така, ако ја одземеме последната цифра од бројот од останатиот дел од бројот помножен со 2, резултатот треба исто така да е делив со 12. На пример, бројот 324 е делив со 12, бидејќи: (32 · 2) – 4 = 64 – 4 = 60, 60 е делив со 12.

Признак за деливост со 13:

За да провериме дали некој број е делив со 13, го правиме следново: последната цифра од бројот ја множиме со 4 и резултатот го собираме со останатиот дел од оригиналниот број (без последната цифра). На пример, сакаме да го провериме бројот 416. Последната цифра (6) ја множиме со 4 и потоа на тој резултат додаваме 41 и добиваме (6 · 4) + 41 = 24 + 41 = 65. 65 е делив со 13, па 416 е делив со 13. Оваа постапка, како и сите останати, можеме да ја повторуваме сé додека не сме сигурни дека резултатот што ќе го добиеме се дели со 13.

Признак за деливост со 14:

Ако бројот се дели и со 2 и со 7, тогаш се дели и со 14. Исто така, ако ги собереме последните 2 цифри од бројот (гледани како двоцифрен број) со останатиот дел од бројот помножен со 2, резултатот исто така треба да е делив со 14. На пример, бројот 1764 е делив со 14, бидејќи: (17 · 2) + 64 = 98, 98 е делив со 14.

Признак за деливост со 15:

Ако бројот се дели и со 3 и со 5, тогаш се дели и со 15.

Признак за деливост со 16:

Ако ги собереме последните 2 цифри од бројот (гледани како двоцифрен број) со останатиот дел од бројот помножен со 4, резултатот исто така треба да е делив со 16. На пример, бројот 1168 е делив со 16, бидејќи: (11 · 4) + 68 = 112, 112 е делив со 16.

Признак за деливост со 17:

Ако ги одземеме последните 2 цифри од бројот (гледани како двоцифрен број) со останатиот дел од бројот помножен со 2, резултатот исто така треба да е делив со 17. На пример, бројот 4675 е делив со 17, бидејќи: (46 · 2) - 75 = 17, 17 е делив со 17.

Признак за деливост со 18:

Ако бројот се дели и со 2 и со 9, тогаш се дели и со 18.

Признак за деливост со 19:

Последните 2 цифри од бројот (гледани како двоцифрен број) помножени со 4, ги додаваме на останатиот дел од бројот. На пример, бројот 6935 е делив со 19, бидејќи: 69 + (35 · 4) = 209, 209 е делив со 19.

Признак за деливост со 20:

Ако последната цифра од бројот е 0 и претпоследната цифра од бројот е парна, бројот се дели со 20.

Коњска турнеја

„Коњска турнеја е секвенца на потези на коњот на шаховска табла, каде коњот треба да ги посети сите полиња точно по еднаш. Постојат два типа на коњски турнеи: „затворена турнеја“ – каде коњот ја завршува турнејата на истото поле од каде почнал (од каде може да ја повтори истата турнеја повторно), и „отворена турнеја“ – кога коњот не смее да се врати на првичното поле кога турнејата ќе заврши.

Пример за „затворена коњска турнеја“

Тоа што го прави овој проблем интересен е фактот дека солуциите на „коњската турнеја“ се само шаховска визуелизација на проблеми од теорија на графови. Ова ги фасцинирало математичарите со векови. Најстарата референца на овој проблем датира уште од 9-от век, каде било докажано дека текстот од сликата подолу, напишан во 4 реда од по 8 слогови (секој симбол е еден слог) може да се прочита и од лево надесно, а и пратејќи ја патеката на коњската турнеја.

За да го разбереме ова полесно, симболите ќе ги замениме со бои и броеви. Ако се движиме од лево надесно (и од горе надолу, како што читаме) почнувајќи од црвената единица, ќе стапнуваме на истите бои како што би стапнувале ако се движиме одејќи по редните броеви (кои секогаш се еден коњски потег од претходниот).

Одејќи од лево надесно или одејќи по коњска турнеја, го добиваме следниот редослед на бои:

Докажано е дека за секоја шаховска табла голема m x n, каде m <= n, затворената коњска турнеја е возможна, освен ако еден или повеќе од трите услови се исполнети:
- m и n се непарни;
- m = 1, 2 или 4;
- m = 3 и n = 4, 6 или 8.

Уште една интересна ствар поврзана со коњската турнеја е тоа што, движејќи се по неа, шаховската табла може да се претвори во (полу) магичен квадрат. Магичен квадрат е квадрат од броеви каде збирот на сите редици, сите колони и двете главни дијагонали е ист.

Леонард Ојлер го создал следниот (полу) магичен квадрат:

Збирот на сите редици е 260:

Збирот на сите колони е 260:

Збирот на секој квадрант е 520:

Збирот на секоја полу-редица, полу-колона и секој 2х2 квадрант е 130:

Но, за жал, ова е само „полу магичен квадрат“, бидејќи збирот на главните дијагонали не е 260:

Всушност, докажано е дека не постои вистински магичен квадрат употребувајќи ја коњската турнеја, но затоа пронајдени се повеќе од 140 различни полу магични квадрати како што е следниот:

Зошто корен од 2 е ирационален број?

Цел број е број кој нема децимален дел, на пример бројот 6. Бројот 0,6 има дециламен дел, па затоа не е цел број, но барем е рационален. Рационален број е број кој може да се претстави или како број со целимален запис (0,6), или како однос, количник на два цели броја (6/10). Рационалните броеви имаат или конечен број на децимали, или бесконечен каде една цифра или група цифри се повторуваат бесконечно број пати, на пример 0,333... или 1,474747... Цифрата или цифрите кои се повторуваат ги запишуваме во заграда ( 0.(3) или 1,(47) ).

Но имаме и броеви чии децимални делови ниту се конечни, ниту пак се повторуваат. Овие броеви ги викаме ирационални броеви. Да замислиме квадрат со должина на страна 1. Колкава е должината на неговата дијагонала? Според Питагоровата теорема (a² + b² = c²), квадратот на должината на дијагоналата е еднаква на збирот од квадратите на должините на страните кои ја сочинуваат, во случајов: c² = 1² + 1². Од тука добиваме c² = 2 и c = √ 2. Ако внесеме √ 2 на калкулатор добиваме децимален број со многу децимали за кои не знаеме дали некогаш ќе завршат или пак ќе се повторуваат, па не можеме да знаеме дали √ 2 е рационален или ирационален број. Или можеме?

Пред да докажеме дека бројот √ 2 е ирационален, прво да дефинираме неколку работи како подготовка за доказот. Прво, да дефинираме „парен број“. Парен број е број кој поделен со 2 ни дава цел број (без остаток). Од тука, парните броеви можеме да ги претставиме во облик парен број = 2 · константа, каде „константа“ е било кој цел број (или скратено е = 2c, каде „е“ е кратенка од „even“, а „c“ е кратенка од „constant“). Бидејќи целите броеви осцилираат наизменично (парен, непарен, парен, непарен...), непарните броеви можеме да ги претставиме како парен број + 1, т.е. непарен број = 2 · константа + 1 (или скратено o = 2c + 1, каде „o“ е кратенка од „odd“).

Следно, треба да покажеме дека било кој парен број на квадрат ни дава секогаш парен број и било кој непарен број на квадрат ни дава секогаш непарен број. Да земеме било кој парен број и да го квадрираме: (2c)² = 4c². Ако од 4c² извадиме 2 пред заграда, добиваме: 2 (2c²). Од тука согледуваме дека за било која вредност на c (односно на синиот дел), целиот израз ќе е парен бидејќи било кој број помножен со 2 ни дава парен број по дефиницијата погоре. Сега да квадрираме непарен број: (2c + 1)² = (2c + 1) (2c + 1) = 4c² + 2c + 2c + 1 = 4c² + 4c + 1 = (4c² + 4c) + 1 = 2 (2c² + 2c) + 1. Од тука согледнуваме дека за било која вредност на с (односно на синиот дел), целиот израз ќе е непарен по дефиницијата погоре.

Следно, да докажеме дека a/b · c/d = ac/bd. Левата страна од равенството ќе ја помножиме со bd : bd (за било која вредност на b и d ќе добиеме 1, бидејќи било што поделено со истото нешто ни дава 1, што значи дека левата страна на првичното равенство само ја множиме со 1, па ништо не се менува).
Добиваме: a/b · c/d · bd : bd = ac/bd
a/b · b · c/d · d : bd = ac/bd
ac/bd = ac/bd
Од тука знаеме дека a/b · a/b = a²/b²

Секој сооднос на два цели броја (дропка чиј именител и броител се цели броеви) може да се доведе до „нескратлива дропка“. На пример, имаме некоја дропка 4/6. За да видиме дали дропката можеме да ја „скратиме“ за да ја доведеме до нескратлива форма, треба да ги најдеме сите делители на двата броја и ако двата броја имаат ист делител (кој не е 1), тогаш можеме да ја кратиме. Делители на бројот 4 се 1, 2 и 4, а делители на бројот 6 се 1, 2, 3 и 6. Бројот 2 е заеднички делител, па 4/6 можеме да ја скратиме со 2 и добиваме 2/3. Броевите 2 и 3 немаат заеднички делител (освен 1), па дропката 2/3 велиме дека е „нескратлива“ дропка. Два броја кои немаат заеднички делител поголем од 1 (како броевите 2 и 3 од нашиот пример) се викаат заемно прости броеви. Заклучокот тука е дека секој сооднос на два цели броја може да се сведе на сооднос на два заемно прости броја, па ако √ 2 е рационален, ќе може и тој.

Ќе докажеме дека р2 е ирационален број по пат на контрадикција, односно ќе докажеме дека р2 не може да биде рационален број, но да замислиме дека е. Ако р2 е рационален, тогаш би можел да се претстави како сооднос на некои два цели броја:
√ 2 = a/b
Од тука добиваме:
2 = (а/b)² = a/b · a/b = a²/b² = >
a²/b² = 2
Множиме со b² од двете страни на равенството:
а²/b² · b² = 2 · b²
a² = 2b²
Од дефиницијата за парни и непарни броеви знаеме дека црвениот дел е секогаш парен, па следува дека и синиот дел мора да е исто така парен. Ако синиот дел е парен, тогаш а мора да е исто така парен (парен број на квадрат ни дава секогаш парен број). Чим а ни е парен број, можеме да го претставиме како а = 2с. Се навраќаме во равенството погоре, само што а ќе го замениме со 2с.
(2с)² = 2b²
4c² = 2b²
Делиме од двете страни со 2:
2c² = b²
Од дефиницијата за парни и непарни броеви знаеме дека синиот дел е секогаш парен, па следува дека и црвениот дел мора да е исто така парен. Ако црвениот дел е парен, тогаш b мора да е исто така парен. Со ова заклучувме дека и а и b мора да се парни, по претпоставката дека √ 2 е рационален, односно може да се претстави како сооднос: √ 2 = a/b. Но ако и а и b се парни, тогаш е невозможно да се заемно прости, бидејќи по дефиницијата на парни броеви, секогаш ќе имаат заеднички делител 2. Па бидејќи секој сооднос на два цели броја може да се сведе на сооднос на два заемно прости броја, а по нашата претпоставка дека √ 2 = а/b не може, следува дека √ 2 е ирационален број.